NEW Xét Tính Khả Vi Của Hàm Số, Hàm Số Khả Vi Và Vi Phân Toàn Phần

Bài giảng Giải tích 1 Giải tích 2 Đại số tuyến tính (LinearAlgebra) Xác suất thống kêPhương pháp tính toán Vật lý (PT Đạo hàm một phần và PBDL)

Chúng ta đã biết rằng khái niệm đạo hàm riêng cho chúng ta biết tốc độ thay đổi của một hàm khi một trong các biến thay đổi giá trị. Bây giờ, chúng ta sẽ nghiên cứu sự thay đổi của một hàm hai biến

khi cả hai biến đều được thay đổi.

Bạn đang xem: Xét Khả Năng Khác Biệt Của Các Chức Năng

Xem xét chức năng

và

là một điểm trong miền xác định D. Ta cho x, y thay đổi 1 lượng tương ứng

vậy nên

. Sau đó, giá trị của hàm sẽ thay đổi một lượng:

1. Định nghĩa 1:

Hàm f (x; y) được gọi là sự khác biệt ở điểm

nếu gia số đầy đủ

có thể được biểu diễn dưới dạng:

(đầu tiên)

trong đó A, B là các số không phụ thuộc vào Δx, Δy; và α, β → 0 khi x, y → 0

Khi đó, đại lượng A.Δx + B.Δy được gọi là tổng khác biệt của hàm f (x; y) tại

tương ứng với các gia số x, y và được ký hiệu là

Ví dụ:

Xem xét chức năng

. Chúng ta có:

Hoặc:

Vì vậy:

Vì vậy, chức năng có thể phân biệt được tại

và

Bình luận:

1. Cân nhắc

,

Đưa cho

sau đó

. Sau đó, áp dụng bất đẳng thức BCS và giới hạn kẹp, chúng ta có:

Do đó, ε là VCB khi ρ → 0.

Vì vậy, biểu thức (1) có thể được viết là:

, 0 (ρ) là vô cùng của bậc cao hơn ρ.

2. Chúng ta không thể sử dụng định nghĩa để xem xét sự khác biệt của một hàm

như trong ví dụ 1. Nói chung, định nghĩa chỉ có thể được áp dụng để xem xét sự khác biệt đối với các hàm có dạng đa thức, còn các hàm khác không thể được sử dụng để xem xét sự khác biệt tại một điểm. Vì vậy, chúng ta cần tìm một công cụ khác để giải quyết vấn đề này.

3. Chức năng

gọi là khả năng khác biệt trong miền EASY nếu nó có thể phân biệt được tại mọi điểm trong D.

2. Định lý 1: (Điều kiện cần thiết để chức năng có thể phân biệt được)

Nếu chức năng

có thể phân biệt ở

thì nó là liên tục tại điểm đó.

Chứng minh:

Vì hàm có thể phân biệt được nên từ công thức (1) chúng ta có:

} = 0 “class =” latex” />

Vì thế:

Do đó, hàm liên tục tại

. ♦

Bình luận:

1. Nếu hàm số f (x; y) không liên tục tại

sẽ không thể phân biệt được tại thời điểm đó.

Xem thêm: Bố cục bài Mùa xuân nho nhỏ, Hướng dẫn soạn bài Mùa xuân nho nhỏ

2. Các hàm phân biệt trên miền D liên tục trong miền đó.

3. Định lý 2:

Nếu f (x; y) là phân biệt tại

thì nó có các đạo hàm riêng

trong

và chúng tương ứng bằng A và B trong biểu thức 1 của định nghĩa hàm phân biệt.

Chứng minh:

Thật vậy, từ công thức (1) chúng ta đưa ra

, chúng tôi nhận được:

trong đó α → 0 khi Δx → 0.

Vì vậy:

Vì thế

Theo cùng một cách chúng ta có:

Bình luận:

1. Như vậy, nếu hàm f (x, y) khả vi tại

thì tổng vi phân của hàm tại

được xác định bởi:

2. Khác với hàm 1 biến (nếu hàm có đạo hàm sẽ phân biệt được), nếu hàm 2 biến f (x, y) có đạo hàm riêng tại $ latex (x_0; y_0) thì khó có thể xảy ra. khác nhau. có thể phân biệt được ở điểm đó. Chúng tôi xem xét chức năng sau:

Theo định nghĩa của một phần, chúng ta có:

Tương tự, chúng ta có:

nhưng hàm G (x; y) không liên tục tại (0; 0) (xem phần giới hạn hàm nhiều biến) nên không thể phân biệt được ở (0,0)

4. Định lý 3 (Điều kiện đủ để chức năng có thể phân biệt được)

Cho hàm số f (x; y) có đạo hàm riêng trong miền D chứa điểm

. Nếu đạo hàm riêng liên tục tại M thì hàm số khả vi tại điểm đó.

5. Ví dụ:

1. Cho hàm số:

Tính toán

và

. Hàm có phân biệt được tại (0, 0) hay không?

Phần thưởng

Để tính đạo hàm riêng tại (0,0), chúng ta phải sử dụng định nghĩa không thể thay thế giá trị (0,0) vào biểu thức đạo hàm.

Chúng ta có:

giống nhau, tương tự:

=

=

Mặc dù, hàm số có 2 đạo hàm riêng tại (0,0) nhưng không phân biệt được tại điểm đó vì hàm số đã cho không liên tục tại (0,0). Thật vậy: xét điểm (x; y) hướng tới điểm (0,0) dọc theo đường thẳng y = kx ta có.

Vì vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nên không tồn tại giới hạn.

Vì vậy:

Vì vậy, hàm không liên tục tại (0,0) và do đó nó không thể phân biệt tại (0,0)

2. Tìm vi phân của hàm số:

Hàm luôn xác định và liên tục cho tất cả

nên có thể phân biệt được ở mọi điểm

. Sau đó chúng tôi có:
Thể loại: Chung