NEW Cách Tìm Giao Tuyến 2 Mặt Phẳng Chứa 2 Đường Thẳng Song Song

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Bạn đang xem: Giao tuyến 2 mặt phẳng

Phương pháp+ Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.+ Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng, nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.+ Về dạng toán này, điểm chung thứ nhất thường dễ tìm, điểm chung còn lại ta phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời cùng thuộc một mặt phẳng thứ ba mà chúng không song song với nhau, giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.

Ví dụ minh họaVí dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABCD)$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:a) Mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD).$b) Mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(SCD).$c) Mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC).$

a) Ta có: $S in left( SAC right) cap left( SBD right)$ $(1).$Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $O = AC cap BD.$Vì $left{ beginarraylO in AC,AC subset left( SAC right)\O in BD,BD subset left( SBD right)endarray right.$ $ Rightarrow O in left( SAC right) cap left( SBD right)$ $(2).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( SAC right) cap left( SBD right) = SO.$b) Ta có: $S in left( SAB right) cap left( SCD right)$ $(3).$Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $E = AB cap CD.$Vì: $left{ beginarraylE in AB,AB subset left( SAB right)\E in CD,CD subset left( SCD right)endarray right.$ $ Rightarrow E in left( SAB right) cap left( SCD right)$ $(4).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( SAB right) cap left( SCD right) = SE.$c) Ta có: $S in left( SAD right) cap left( SBC right)$ $(5).$Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $F = AD cap BC.$Vì $left{ beginarraylF in AD,AD subset left( SAD right)\F in BC,BC subset left( SBC right)endarray right.$ $ Rightarrow F in left( SAD right) cap left( SBC right)$ $(6).$Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $left( SAD right) cap left( SBC right) = SF.$

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD, BC.$a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IBC)$ và mặt phẳng $(JAD).$b) Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AB$, $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $M,N$ không là trung điểm. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IBC)$ và mặt phẳng $(DMN).$

a) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(IBC)$ và $(JAD).$Ta có:$left{ beginarraylI in left( IBC right)\I in AD,AD subset left( JAD right)endarray right.$ $ Rightarrow I in left( IBC right) cap left( JAD right)$ $(1).$$left{ beginarraylJ in left( JAD right)\J in BC,BC subset left( IBC right)endarray right.$ $ Rightarrow J in left( IBC right) cap left( JAD right)$ $(2).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( IBC right) cap left( JAD right) = IJ.$b) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(IBC)$ và $(DMN)$.Trong mặt phẳng $(ABD)$ gọi $E = BI cap DM.$Vì $left{ beginarraylE in BI,BI subset left( IBC right)\E in DM,DM subset left( DMN right)endarray right.$ $ Rightarrow E in left( IBC right) cap left( DMN right)$ $(3).$Trong mặt phẳng $(ACD)$ gọi $F = CI cap DN.$Vì $left{ beginarraylF in CI,CI subset left( IBC right)\F in DN,DN subset left( DMN right)endarray right.$ $ Rightarrow F in left( IBC right) cap left( DMN right)$ $(4).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( IBC right) cap left( DMN right) = EF.$

Ví dụ 3: Cho tứ diện $ABCD$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AB$, $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $MN$ cắt $BC$. Gọi $I$ là điểm bên trong tam giác $BCD.$ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:a) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(BCD).$b) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ABD).$c) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ACD).$

a) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(BCD).$Gọi $H = MN cap BC$ $left( MN,BC subset left( ABC right) right).$Ta có:$I in left( IMN right) cap left( BCD right)$ $(1).$$left{ beginarraylH in MN,MN subset left( IMN right)\H in BC,BC subset left( BCD right)endarray right.$ $ Rightarrow H in left( IMN right) cap left( BCD right)$ $(2).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( IMN right) cap left( BCD right) = HI.$b) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ABD).$Trong mặt phẳng $(BCD)$, gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $HI$ với $BD$ và $CD.$Ta có:$left{ beginarraylM in left( MNI right)\M in AB subset left( ABD right)endarray right.$ $ Rightarrow E in left( MNI right) cap left( ABD right)$ $(3).$$left{ beginarraylE in HI subset left( MNI right)\E in BD subset left( ABD right)endarray right.$ $ Rightarrow E in left( MNI right) cap left( ABD right)$ $(4).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( MNI right) cap left( ABD right) = ME.$c) Mặt phẳng $(MNI)$ và mặt phẳng $(ACD).$Ta có:$left{ beginarraylN in left( MNI right)\N in AC subset left( ACD right)endarray right.$ $ Rightarrow N in left( MNI right) cap left( ACD right)$ $(5).$$left{ beginarraylF in HI subset left( MNI right)\F in CD subset left( ACD right)endarray right.$ $ Rightarrow F in left( MNI right) cap left( ACD right)$ $(6).$Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $left( MNI right) cap left( ACD right) = NF.$

Ví dụ 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có $AB$ song song với $CD$. Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.

Xem thêm:

Lấy $M$ thuộc cạnh $SC$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:a) Mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD).$b) Mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC).$c) Mặt phẳng $(ADM)$ và mặt phẳng $(SBC).$

a) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD).$Ta có: $S in left( SAC right) cap left( SBD right)$ $left( 1 right).$Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $H = AC cap BD$, ta có:$left{ beginarraylH in AC subset left( SAC right)\H in BD subset left( SBD right)endarray right.$ $ Rightarrow H in left( SAC right) cap left( SBD right)$ $left( 2 right).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $left( SAC right) cap left( SBD right) = SH.$b) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.Ta có: $S in left( SAD right) cap left( SBC right)$ $left( 3 right).$Trong mặt phẳng $left( ABCD right)$ gọi $I = AD cap BC$, ta có:$left{ beginarraylI in AD subset left( SAD right)\I in BC subset left( SBC right)endarray right.$ $ Rightarrow I in left( SAD right) cap left( SBC right)$ $(4).$Trong $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( SAD right) cap left( SBC right) = SI.$c) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $left( ADM right)$ và $left( SBC right).$Ta có:$left{ beginarraylM in left( ADM right)\M in SC,SC subset left( SBC right)endarray right.$ $ Rightarrow M in left( ADM right) cap left( SBC right)$ $left( 5 right).$$left{ beginarraylI in AD,AD subset left( ADM right)\I in BC,BC subset left( SBC right)endarray right.$ $ Rightarrow I in left( ADM right) cap left( SBC right)$ $(6).$Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $left( ADM right) cap left( SBC right) = MI.$

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CD, SA$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:a) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAB).$b) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAD).$c) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SBC).$d) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SCD).$

Gọi $F = MN cap AB$, $E = MN cap AD$ (vì $MN,AB,AD subset left( ABCD right)$).a) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAB).$Ta có:$left{ beginarraylP in left( MNP right)\P in SA,SA subset left( SAB right)endarray right.$ $ Rightarrow P in left( MNP right) cap left( SAB right)$ $left( 1 right).$$left{ beginarraylF in MN,MN subset left( MNP right)\F in AB,AB subset left( SAB right)endarray right.$ $ Rightarrow F in left( MNP right) cap left( SAB right)$ $left( 2 right).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( MNP right) cap left( SAB right) = PF.$b) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SAD).$Ta có:$left{ beginarraylP in left( MNP right)\P in SA,SA subset left( SAD right)endarray right.$ $ Rightarrow P in left( MNP right) cap left( SAD right)$ $left( 3 right).$$left{ beginarraylE in MN,MN subset left( MNP right)\E in AD,AD subset left( SAD right)endarray right.$ $ Rightarrow E in left( MNP right) cap left( SAD right)$ $left( 4 right).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $left( MNP right) cap left( SAD right) = PE.$c) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SBC).$Trong mặt phẳng $(SAB)$ gọi $K = PF cap SB$, ta có:$left{ beginarraylK in PF,PF subset left( MNP right)\K in SB,SB subset left( SBC right)endarray right.$ $ Rightarrow K in left( MNP right) cap left( SBC right)$ $left( 5 right).$$left{ beginarraylM in left( MNP right)\M in BC,BC subset left( SBC right)endarray right.$ $ Rightarrow M in left( MNP right) cap left( SBC right)$ $left( 6 right).$Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra $left( MNP right) cap left( SBC right) = MK.$d) Mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(SCD).$Gọi $H = PE cap SD$ $left( PE,SD subset left( SAD right) right)$, ta có:$left{ beginarraylH in PE,PE subset left( MNP right)\H in SD,SD subset left( SCD right)endarray right.$ $ Rightarrow H in left( MNP right) cap left( SCD right)$ $left( 7 right).$$left{ beginarraylN in left( MNP right)\N in CD,CD subset left( SCD right)endarray right.$ $ Rightarrow N in left( MNP right) cap left( SCD right)$ $left( 8 right).$Từ $(7)$ và $(8)$ suy ra: $left( MNP right) cap left( SCD right) = NH.$

Ví dụ 6: Cho tứ diện $S.ABC$. Lấy $M in SB$, $N in AC$, $I in SC$ sao cho $MI$ không song song với $BC, NI$ không song song với $SA.$ Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(MNI)$ với các mặt $(ABC)$ và $(SAB).$

a) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(MNI)$ và $(ABC).$Vì $left{ beginarraylN in left( MNI right)\N in AC,AC subset left( ABC right)endarray right.$ $ Rightarrow N in left( MNI right) cap left( ABC right)$ $(1).$Trong mặt phẳng $(SBC)$ gọi $K = MI cap BC.$Vì: $left{ beginarraylK in MI subset left( MNI right)\K in BC,BC subset left( ABC right)endarray right.$ $ Rightarrow K in left( MNI right) cap left( ABC right)$ $left( 2 right).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( MNI right) cap left( ABC right) = NK.$b) Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $(MNI)$ và $(SAB).$Gọi $J = NI cap SA$ $left( NI,SA subset left( SAC right) right).$Ta có:$left{ beginarraylM in left( MNI right)\M in SB,SB subset left( SAB right)endarray right.$ $ Rightarrow M in left( MNI right) cap left( SAB right)$ $left( 3 right).$$left{ beginarraylJ in NI subset left( MNI right)\J in SA,SA subset left( SAB right)endarray right.$ $ Rightarrow J in left( MNI right) cap left( SAB right)$ $left( 4 right).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( MNI right) cap left( SAB right) = MJ.$

Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD$, $M$ là một điểm nằm bên trong tam giác $ABD$, $N$ là một điểm bên trong tam giác $ACD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:a) Mặt phẳng $(AMN)$ và mặt phẳng $(BCD).$b) Mặt phẳng $(DMN)$ và mặt phẳng $(ABC).$

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BCD).$Trong mặt phẳng $(ABD)$, gọi $E = AM cap BD$, ta có:$left{ beginarraylE in AM,AM subset left( AMN right)\E in BD,BD subset left( BCD right)endarray right.$ $ Rightarrow E in left( AMN right) cap left( BCD right)$ $(1).$Trong $(ACD)$ gọi $F = AN cap CD$, ta có:$left{ beginarraylF in AN,AN subset left( AMN right)\F in CD,CD subset left( BCD right)endarray right.$ $ Rightarrow F in left( AMN right) cap left( BCD right)$ $(2).$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $left( AMN right) cap left( BCD right) = EF.$b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(DMN)$ và $(ABC).$Trong mặt phẳng $(ABD)$, gọi $P = DM cap AB$, ta có:$left{ beginarraylP in DM,DM subset left( DMN right)\P in AB,AB subset left( ABC right)endarray right.$ $ Rightarrow P in left( DMN right) cap left( ABC right)$ $(3).$Trong $(ACD)$, gọi $Q = DN cap AC$, ta có:$left{ beginarraylQ in DN,DN subset left( DMN right)\Q in AC,AC subset left( ABC right)endarray right.$ $ Rightarrow Q in left( DMN right) cap left( ABC right)$ $left( 4 right).$Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $left( DMN right) cap left( ABC right) = PQ.$

Ví dụ 8: Cho tứ diện $ABCD$. Lấy $I in AB$, $J$ là điểm trong tam giác $BCD$, $K$ là điểm trong tam giác $ACD$. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(IJK)$ với các mặt của tứ diện.

Gọi:$M = DK cap AC$ $left( DK,AC subset left( ACD right) right).$$N = DJ cap BC$ $left( DJ,BC subset left( BCD right) right).$$H = MN cap KJ$ $left( MN,KJ subset left( DMN right) right).$Vì $H in MN$, $MN subset left( ABC right)$ $ Rightarrow H in left( ABC right).$Gọi:$P = HI cap BC$ $left( HI,BC subset left( ABC right) right).$$Q = PJ cap CD$ $left( PJ,CD subset left( BCD right) right).$$T = QK cap AD$ $left( QK,AD subset left( ACD right) right).$Theo cách dựng điểm ở trên, ta có:$left( IJK right) cap left( ABC right) = IP.$$left( IJK right) cap left( BCD right) = PQ.$$left( IJK right) cap left( ACD right) = QT.$$left( IJK right) cap left( ABD right) = TI.$

Chuyên mục: Tổng hợp