Chào bạn đọc. Hôm nay, tôi xin chia sẽ về các chủ đề ít người biết xung quanh cuộc sống bằng nội dung Tính Chất 3 Đường Trung Trực Của Tam Giác, Đường Trung Trực
Phần lớn nguồn đều đc lấy thông tin từ những nguồn trang web lớn khác nên chắc chắn có vài phần khó hiểu.
Mong mọi người thông cảm, xin nhận góp ý & gạch đá dưới bình luận
Xin quý khách đọc nội dung này ở nơi yên tĩnh kín đáo để đạt hiệu quả nhất
Tránh xa tất cả những thiết bị gây xao nhoãng trong các công việc đọc bài
Bookmark lại bài viết vì mình sẽ update liên tiếp
Đường phân giác của một đoạn thẳng là gì? Tính chất đường phân giác vuông góc được ứng dụng như thế nào trong giải toán? Bạn đang loay hoay với những kiến thức về đường phân giác vuông góc của đoạn thẳng, của tam giác cũng như nhiều dạng toán liên quan.
Đường phân giác vuông góc của một đoạn thẳng là một phần kiến thức dành cho các em học sinh lớp 7, khi môn toán hình học đã bắt đầu lên một bậc rồi, nhưng đừng lo lắng về toán học liên quan đến đường vuông góc chỉ cần nhớ định nghĩa là được. các tính chất hoặc định lý. Hãy cùng La Factoria Web chúng tôi tổng hợp nội dung cần nhớ, các dạng bài tập và cách giải hiệu quả, dễ nhớ ngay dưới đây.
Bạn đang xem: Tính chất 3 đường phân giác vuông góc của tam giác

Nội dung
Tính chất của tính chất trực giao của ba trực giao trong tam giác Các dạng toán về đường phân giác vuông góc của một đoạn thẳng
Định nghĩa đường phân giác của một đoạn thẳng là gì?
Định nghĩa: Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Định lý 1: Một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng cách đều hai điểm cuối của đoạn thẳng đó.
GT: d là trung trực của AB, M d
=> KL: MA = MB
Định lý 2:
Điểm cách đều hai điểm cuối của đoạn thẳng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó
Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Các thuộc tính của đường trực giao
– Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
Mọi điểm trên đường trung trực của đoạn thẳng đều cách đều hai điểm cuối của đoạn thẳng
Trong hình trên, dd là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta cũng nói: A đối xứng với B qua d.
=> Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu một đoạn thẳng là trung trực của đoạn thẳng đó.
Tính chất của ba đường phân giác vuông góc trong tam giác
Với một tam giác bình thường
– Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

Trong hình vẽ bên, điểm O là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC.ΔABC.
Ta có OA = OB = OC. Điểm OO là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.ΔABC.
Giao điểm của ba đường phân giác vuông góc của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Khi đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Với tam giác cân

Trong một tam giác cân, đường trung trực tương ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác, trung tuyến và đường cao đều bắt nguồn từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
Với tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm của cạnh huyền.
Các dạng toán về đường phân giác vuông góc của một đoạn thẳng
Dạng 1: Chứng minh đường phân giác vuông góc của một đoạn thẳng
Dạng 1: Toán chứng minh đường phân giác vuông góc của đoạn thẳng
Phương pháp giải quyết:
Chứng minh rằng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, chứng minh rằng d chứa hai điểm và cách đều A và B, hoặc sử dụng định nghĩa về đường trung trực.
Dạng 2: Chứng minh rằng hai đoạn thẳng đồng dư
Dạng 2: Chứng minh rằng hai đoạn thẳng đồng dư
Phương pháp:
Áp dụng định lý: “Nếu một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì nó cách đều hai điểm cuối của đoạn thẳng đó.”
Loại 3: Vấn đề giá trị nhỏ nhất
Loại 3: Vấn đề giá trị nhỏ nhất
Phương pháp:
Áp dụng tính chất đường phân giác vuông góc để thay độ dài đoạn thẳng bằng độ dài đoạn thẳng khác bằng đoạn thẳng đó.
Sau đó áp dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.
Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Phương pháp:
Áp dụng tính chất giao điểm của ba đường trung trực của tam giác
Định lý: Ba đường phân giác của một tam giác đi qua cùng một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
Dạng 5: Bài toán về đường trung trực của tam giác cân
Dạng 5: Các bài toán liên quan đến đường phân giác của tam giác cân
Phương pháp:
Hãy nhớ rằng, trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy cũng là đường trung tuyến và đường phân giác tương ứng với cạnh đáy này.
Dạng 6: Bài toán về đường trung trực của tam giác vuông
Dạng 6: Các bài toán liên quan đến đường phân giác của tam giác vuông
Phương pháp:
Ghi nhớ và vận dụng: Trong tam giác vuông, giao điểm của các đường trung trực là trung điểm của cạnh huyền.
Bạn có thể tham khảo bài học về con đường Trung đạo tại đây:
Một số câu hỏi về đường phân giác vuông góc của đoạn thẳng
Mỗi đoạn thẳng có bao nhiêu trung tuyến? Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trực tâm là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Làm thế nào để viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng?
Dựa vào định nghĩa và tính chất của đường trung trực cộng với tính chất của vectơ, ta có hai cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng:
Tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và điểm đi qua đó. Áp dụng thuộc tính 1 ở trên.
Bài tập áp dụng phương pháp 1: tìm vectơ pháp tuyến
Cho A (1; -4) và B (3; 2), viết phương trình tổng quát của đường trung trực của AB.
Phần thưởng:
Vectơ AB = (3 – 1; 2 – (-4)) = (2; 6) = 2 (1; 3)
=> Vectơ pháp tuyến của đường trung trực của AB là: Vectơ n = (1; 3)
Gọi I (x; y) là trung điểm của AB
x = (1 + 3) / 2 = 2
Và y = (- 4 + 2) / 2 = -1
=> Tôi (2; -1)
Phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn AB:
a (x – x0) + b (y – y0) = 0
x – 2 + 3 (y + 1) = 0
=> x + 3y + 1 = 0
Bài tập về đường phân giác trung trực của đoạn thẳng
Bài 44 (trang 76 SGK Toán 7 tập 2): Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cách đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Độ dài MB là bao nhiêu?
Dung dịch:

Điểm M trên đường trung trực của AB
=> MA = MB (định lý thuận)
Vì MA = 5cm nên MB = 5cm
Kiến thức áp dụng: Dựa vào định lí về tính chất của điểm trên đường phân giác (định lí về phía trước): Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng cách đều hai điểm cuối của đoạn thẳng đó.
Bài 45 (trang 76 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh rằng đường thẳng PQ vẽ được như hình vẽ bên là đường phân giác trung trực của đoạn thẳng MN.

Câu trả lời:
Ta có: Hai cung tròn có tâm M, N có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại P, Q.
Vậy MP = NP và MQ = NQ
=> P; Q cách đều hai đầu M và N của đoạn thẳng MN.
nên tuân theo định lý 2: P; Q thuộc đường trung trực của MN
hay đường thẳng qua P, Q là trung trực của MN.
Vậy PQ là trung trực của MN.
Bài 46 (trang 76 SGK Toán 7 Tập 2): Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Xem thêm: Cách Sao Chép Văn Bản Trong Word 2013, Sao Chép Trang

Câu trả lời:
Vì ΔABC cân tại A AB = AC
=> A thuộc đường trung trực của BC.
Vì ΔDBC cân bằng tại D DB = DC
=> D thuộc đường trung trực của BC.
Vì EBC cân bằng nên E EB = EC
=> E thuộc trung trực của BC.
Vậy A, D, E nằm trên đường trung trực của BC.
Vì vậy A, D, E thẳng hàng
Bài 47 (trang 76 SGK Toán 7 Tập 2): Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng ΔAMN = Δ BMN.
Dung dịch:

Vì M thuộc phân giác trung trực của AB
=> MA = MB (định lý thuận về tính chất của điểm trên đường trung trực)
N thuộc đường trung trực của AB.
=> NA = NB (định lý tỉ lệ thuận về tính chất của điểm trên đường trung trực)
Do đó ΔAMN và ΔBMN có:
AM = BM (cmt)
MN tổng hợp
AN = BN (cmt)
⇒ ΔAMN = BMN (ccc)
Bài 48 (trang 77 SGK Toán 7 tập 2): Hai điểm M và N nằm trên cùng một nửa đường bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Cho tôi là một điểm của xy. So sánh IM + IN với LN.
Dung dịch:
Vì L và M đối xứng nhau qua đường thẳng xy nên xy là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với ML.
Vậy đường thẳng xy là đường trung trực của ML.
I ∈ xy => IM = IL (theo định lý 1).
Vì vậy IM + IN = IL + IN
– TH1: Nếu I, L, N thẳng hàng
=> IL + IN = LN (vì N và L nằm về phía đối diện của đường thẳng xy và I nằm trên xy).
=> IM + IN = LN

TH2: Nếu I không là giao điểm của LN và xy thì ba điểm I, L, N không thẳng hàng.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác INL ta được: IL + IN> LN
trong đó IM = IL (cmt)
=> IL + IN> LN (bất đẳng thức tam giác)
=> IM + IN> LN

Vì vậy, với mọi vị trí của I trên xy, IM + IN LN
Bài 49 (trang 77 SGK Toán 7 Tập 2): Hai nhà máy được xây dựng bên bờ sông tại hai địa điểm A và B (h.44). Tìm trên bờ sông một vị trí C để xây dựng một trạm bơm dẫn nước về hai nhà máy sao cho chiều dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất?

Câu trả lời:
Gọi đường xy là bờ sông nơi cần xây dựng trạm bơm.
=> Bài toán trở lại: Hai điểm A và B cố định nằm trên cùng một nửa mặt phẳng của bờ là đường thẳng xy. Tìm vị trí điểm C nằm trên đường thẳng xy sao cho CA + CB là cực tiểu.
Gọi A ‘là điểm đối xứng của A qua đường thẳng xy.
Theo chứng minh ở bài 48, ta có: CA + CB = CA ‘+ CB ≥ A’B (A’B cố định).
=> CA + CB ngắn bằng A’B.
Dấu “=” xảy ra khi CA ‘+ CB = A’B, tức là A’; NS; C thẳng hàng hay C là giao điểm của A’B và xy.
Vậy điểm đặt trạm bơm là giao điểm của đường thẳng xy với đường thẳng A’B, với A ‘là điểm đối xứng với A qua đường xy.
Bài 51 (trang 77 SGK Toán 7 Tập 2): Cho đường thẳng d và điểm P không nằm trên d. Hình 46 minh họa cách dựng đường thẳng đi qua điểm P vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau:
(1) Vẽ một đường tròn tâm P với bán kính thích hợp sao cho nó cắt d tại hai điểm A và B.
(2) Vẽ hai đường tròn có bán kính bằng nhau có tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi giao điểm của chúng là C (CP)
(3) Vẽ đoạn thẳng PC.
Chứng tỏ rằng đường thẳng PC vuông góc với d.
Dung dịch:

a) Ta có: PA = PB (A; B nằm trên dây cung có tâm P) nên P nằm trên đường trung trực của AB.
CA = CB (C nằm trên 2 cung có tâm A và B có bán kính bằng nhau) nên C nằm trên đường trung trực của AB.
Vậy CP là trung trực của AB nên PC ⊥ d.
b) Một cách vẽ khác

– Lấy hai điểm A, B bất kỳ trên d.
– Vẽ đường tròn tâm A và bán kính AP, cung tròn tâm B và bán kính BP. Hai dây cung cắt nhau tại C (C khác P).
– Vẽ đường PC. Khi đó PC là đường đi qua P và vuông góc với d.
Chứng minh :
Theo định lý 2:
PA = CA (P và C cùng thuộc một cung có tâm A và bán kính PA)
=> A thuộc đường trung trực của PC.
PB = CB (P, C cùng thuộc cung có tâm B và bán kính PB)
=> B thuộc đường trung trực của PC.
=> AB là tia phân giác trung trực của PC
=> PC ⏊ AB hoặc PC ⏊ d.
Hi vọng với những kiến thức cần nhớ cũng như các dạng toán quen thuộc về đường trung tuyến được chia sẻ trên đây, các bạn sẽ dễ dàng hơn trong việc giải các bài tập liên quan. Định lý và định nghĩa đường trực tâm là hai phần quan trọng nhất mà các em phải học thuộc để nhanh chóng vận dụng vào giải toán. Hình học luôn thú vị khi bạn ngày càng lên cao, đường thẳng chính là bài học nền tảng cho bạn sau này.
Thể loại: Chung
Nguồn tổng hợp
from Duy Pets https://ift.tt/3D7AtvN














































